Question

【題目】如圖1，反比例函數y= （x＞0）的圖象經過點A（2 ，1），射線AB與反比例函數圖象交與另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求k和a的值；
（2）直線AC的解析式；
（3）如圖3，M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（2 ，1）代入y= ，可得k=2 ×1=2 ，

∴反比例函數解析式為y= ，

把B（1，a）代入反比例函數解析式y= ，可得a=2

（2）

解：作BH⊥AD于H，如圖2，

∵B點坐標為（1，2 ），

∴AH=2 ﹣1，BH=2 ﹣1，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴∠BAH=45°，

∵∠BAC=75°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，

∵AD=2 ，設CD=x，則AC=2x，

∴由勾股定理可得CD=2，AC=4，

∴C點坐標為（0，﹣1），

設直線AC解析式為y=kx+b，

把A（2 ，1），C（0，﹣1）代入可得

，解得 ，

∴直線AC解析式為y= x﹣1

（3）

解：設M點坐標為（t， ）（0＜t＜1），

∵直線l⊥x軸，與AC相交于點N，

∴N點坐標為（t， t﹣1），

∴MN= ﹣（ t﹣1）= ﹣ t+1，

∴S△CMN= t（ ﹣ t+1）=﹣ t2+ t+ ，

∴當t=﹣ = 時，S有最大值，最大值為

【解析】（1）把A點代入反比例函數解析式可求得k，把B點坐標代入反比例函數解析式可求得a的值；（2）過B作BH⊥AD于H，由A、B坐標可得出△ABH為等腰直角三角形，由條件可求得∠DAC=30°，在△ACD中，由勾股定理可求得CD、AC，可求得C點坐標，利用待定系數法可求得直線AC的解析式；（3）可設出M點坐標為（t， ），從而可表示出N點坐標，則可用t表示出MN的長，則可用t表示出△CMN的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的圖象的相關知識，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點，以及對反比例函數的性質的理解，了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．