Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函數的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．

（3）根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，

∴△=22+4m＞0

∴m＞﹣1

（2）解：∵二次函數的圖象過點A（3，0），

∴0=﹣9+6+m

∴m=3，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

令x=0，則y=3，

∴B（0，3），

設直線AB的解析式為：y=kx+b，

∴ ，解得： ，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3，

∵拋物線y=﹣x2+2x+3，的對稱軸為：x=1，

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）

（3）解：根據函數圖象可知：x＜0或x＞3
【解析】（1）二次函數的圖象與x軸有兩個交點，則△＞0，從而可求得m的取值范圍；（2）由點B、點A的坐標求得直線AB的解析式，然后求得拋物線的對稱軸方程為x=1，然后將x=1代入直線的解析式，從而可求得點P的坐標；（3）一次函數值大于二次函數值即直線位于拋物線的上方部分x的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．