Question

【題目】定義：如圖1，拋物線 與 軸交于A，B兩點，點P在拋物線上（點P與A，B兩點不重合），如果△ABP的三邊滿足 ，則稱點P為拋物線 的勾股點。

（1）直接寫出拋物線 的勾股點的坐標；
（2）如圖2，已知拋物線C： 與 軸交于A，B兩點，點P（1， ）是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數表達式；
（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件 的點Q（異于點P）的坐標

Answer 1

【答案】
（1）

解：勾股點的坐標為（0，1）

（2）

解：拋物線y=ax2+bx（a≠0）過原點（0，0），即A（0，0），

如圖作PG⊥x軸于點G，連接PA,PB，

∵點P（1，），

∴ AG=1,PG=,

∴PA=2,tan∠PAB=,

∴∠PAB=60°,
∴在Rt△PAB中，AB==4,

∴點B（4，0），

設y=ax（x-4）,當x=1時，y=,

解得a=-,

∴y=-x（x-4）=-x2+x.

（3）

解：① 當點Q在x軸上方，由S△ABQ=S△ABP,易知點Q的縱坐標為，

∴-x2+x=，解得x1=3,x2=1（不合題意，舍去），

∴Q（3，），

②當點Q在x軸下方，由S△ABQ=S△ABP,易知點Q的縱坐標為-，

∴-x2+x=-，解得x1=2+,x2=2-,

∴Q（2+，-）Q（2-，-），

綜上，滿足條件的點Q有三個：Q（3，）Q（2+，-）Q（2-，-）.

【解析】（1）解：y=-x2+1與x軸交于A（-1，0），B（1，0），與y軸交于P（0，1），
∴AB=2，AP=BP=,
∴AP2+BP2=AB2
∴勾股點P（0，1），