Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（m，m）在第一象限，且實數m滿足條件：，ABy軸于B，ACx軸于C

（1）求m的值；

（2）如圖1，BE=1，過A作AF⊥AE交x軸于F，連EF，D在AO上，且AD=AE，連接ED并延長交x軸于點P，求點P的坐標；

（3）如圖2，G為線段OC延長線上一點，AC=CG，E為線段OB上一動點（不與O、B重合），F為線段CE的中點，若BF⊥FK交AG于K，延長BF、AC交于M，連接KM．請問∠FBK的大小是否變化？若不變，請求其值；若改變，求出變化的范圍．

Answer 1

【答案】（1）7；（2）P（3，0）；（3）∠FBK的大小不變，為45°，理由見解析.

【解析】

（1）由有意義可得m≥4，從而得到，然后根據條件就可求出m的值．

（2）過點D作DH⊥x軸于點H，根據全等三角形的性質及勾股定理，就可得到點P的坐標．

（3）過K作KN⊥AC于N，KT⊥BA延長線于T．易證四邊形ATKN是正方形，則有KT=KN，∠MTN=90°．易證△BEF≌△MCF，則有BF=MF，根據垂直平分線的性質可得KB=KM，從而可證到△TBK≌△NMK，進而得到答案．

（1）由得 ， ，

∴ ，

原式化為：，

∴，

.

（2）由（1）得A（7，7），

∵AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C，

∴AE=AC=7，

∴四邊形ABOC為正方形，

∴BO=OC=7，∠BAC=90°，∠BOA=45°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴BE=CF，AE=AF，

∴∠AEF=45°，

∵AD=AE，

∴∠AED=∠ADE，

∴∠AEF+∠FEP=∠EOA+∠OEP，

∴∠OEP=∠FEP ，

過P作PH⊥EF于H，

∴OP=PH，

∴EO=EH，

在Rt△EOF中，EO=BO－BE=6，OF=OC＋CF=8，

∴EF= ，

設OP=PH=x，

在Rt△HPF中，HF=10－6=4，PF=8－x，

，即，

解得 ，

∴P（3，0）；

（3）∠FBK的大小不變，為45°。理由如下：

∵有正方形ABOC，

<>∴BO∥AC, ∠BAC=∠ACO=90°，

∴∠EBF=∠CMF，∠BEF=∠MCF，

∵F為EC中點，

∴EF=CF，

∴△BEF≌△MCF（AAS），

∴BF=MF ，

∵BF⊥FK，

∴KB=KM ，

過K作KN⊥AC于N，KT⊥BA延長線于T，

∴∠T=∠KNM=90°，

∴四邊形TANK為矩形，

∵AC=CG，

∴∠ANK=45°，

∴AN=NK，

∴矩形TANK為正方形，

∴TK=NK，

∴△TBK≌△NMK ，

∴∠TBK=∠NMK，

∴∠BKM=∠BAM=90°，

∴∠KBM=45°.