Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，OC⊥AB，弦DC與OB交于點F，在直線AB上有一點F，連接ED，且有ED=EF．
（1）如圖1，求證：ED為⊙O的切線；
（2）如圖2，直線ED與切線AG相交于G，且OF=2，⊙O的半徑為6，求AG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵ED=EF，

∴∠EDF=∠EFD，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠EDF=∠CFO．

∵OD=OC，

∴∠ODF=∠OCF．

∵OC⊥AB，

∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，

∴ED為⊙O的切線

（2）解：連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，

由（1）可知△EDO為直角三角形，設ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，

由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，

解得，a=8，即ED=8，EO=10．

∵sin∠EOD= = ，cos∠EOD= = ，

∴DM=ODsin∠EOD=6× = ，MO=ODcos∠EOD=6× = ，

∴EM=EO﹣MO=10﹣ = ，EA=EO+OA=10+6=16．

∵GA切⊙O于點A，

∴GA⊥EA，

∴DM∥GA，

∴△EDM∽△EGA，

∴ = ，即 = ，

解得，GA=12．

【解析】（1）連接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由對頂角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，結合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此證出ED為⊙O的切線；（2）連接OD，過點D作DM⊥BA于點M，結合（1）的結論根據勾股定理可求出ED、EO的長度，結合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的長度，根據切線的性質可知GA⊥EA，從而得出DM∥GA，根據相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根據相似三角形的性質即可得出GA的長度