Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點P的坐標是（n，0）（n＞0），拋物線y=﹣x2+bx+c經過原點O和點P，已知正方形ABCD的三個頂點為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．

（參考公式：y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣ ， ）．
（1）若當n=4時求c，b并寫出拋物線對稱軸及y的最大值；
（2）求證：拋物線的頂點在函數y=x2的圖像上；
（3）若拋物線與直線AD交于點N，求n為何值時，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經過正方形區域ABCD（含邊界），請直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當n=4時，則P（4，0），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過原點O和點P，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴拋物線對稱軸為直線x=2，

∵﹣1＜0，

∴當x=2時，y有最大值4

（2）

證明：把O、P的坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+nx=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴拋物線頂點坐標為（ ， ），

在y=x2中，當x= 時，y= ，

∴拋物線的頂點在函數y=x2的圖像上

（3）

解：在y=﹣x2+nx中，當x=2時，y=2n﹣4，

∴N點坐標為（2，2n﹣4），

∴N到x軸的距離為|2n﹣4|=2|n﹣2|，

∵P（n，0），

∴OP=n，

∴S△NPO= n×2|n﹣2|=n|n﹣2|，

當△NPO的面積為1時，則有n|n﹣2|=1，

當n=2時，N、P重合，不成立，

當n＞2時，則n2﹣2n=1，解得n=1+ 或n=1﹣ （此時n小于2，舍去），

當0＜n＜2時，則2n﹣n2=1，解得n1=n2=1，

綜上可知當n的值為1+ 或1時，△NPO的面積為1

（4）

解：∵拋物線解析式為y=﹣x2+nx，

∴當過A（2，2）時，代入可得2=﹣4+2n，解得n=3，

同理當拋物線過B時可求得n= ，當拋物線過點C時可求得n=4，當拋物線過點D時可求得n= ，

∴n的取值范圍為3≤n≤4

【解析】（1）把原點和P點坐標代入拋物線解析式可求得b、c，則可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得其對稱軸和最大值；（2）用n可表示出拋物線的解析式，則可求得其頂點坐標，代入y=x2進行驗證即可；（3）可用n表示出N點坐標，則可表示出N到x軸的距離和OP的長，可表示出△NPO的面積，可得到關于n的方程，可求得n的值；（4）分別把A、B、C、D的坐標代入拋物線解析式可求得n的值，則可求得n的取值范圍．