Question

【題目】如圖，在中，，為邊上的中線，∥，且,連接.

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）連接，若平分，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】（1）由中線的定義和已知可得到AE=CD，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形ADCE為平行四邊形，由∠BAC=90°，AD為BC邊上的中線，得到AD=BC=CD．即可得到四邊形ADCE為菱形．

（2）連接BE與AD相交于點O．由角平分線的性質和平行線的性質可得到AB=AE，由BD=BC=AE，得到AB=BD，由等腰三角形三線合一的性質得到∠BOD=90°．由AD∥CE，得到∠BEC=∠BOD=90°．在△BEC中，由勾股定理即可得出結論．

（1）∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD=BC．

∵AE=BC，∴AE=CD．

∵AE∥BC，∴四邊形ADCE為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

∵∠BAC=90°，AD為BC邊上的中線，∴AD=BC=CD，

∴四邊形ADCE為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

（2）連接BE與AD相交于點O．

∵若BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE ．

∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．

∵BD=BC=AE，∴AB=BD，∴∠BOD=90°．

∵四邊形ADCE為菱形，AE=2，∴AD=DC=CE=AE=2，BC=4．

∵AD∥CE，∴∠BEC=∠BOD=90°，∴．