Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使得AE＝AB，聯(lián)結(jié)DE、AC．點(diǎn)F在線段DE上，聯(lián)結(jié)BF，分別交AC、AD于點(diǎn)G、H．

（1）求證：BG＝GF；

（2）如果AC＝2AB，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，求證：AH2＝GHBH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可證四邊形ACDE是平行四邊形，可得，可得結(jié)論；

（2）由“SAS”可證△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通過證明△AHG∽△BHA，可得結(jié)論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AB＝AE，

∴AE＝CD，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∴AC∥DE，

∴，

∴BG＝GF；

（2）∵AB＝AE，

∴BE＝2AE，

∵AC＝2AB，

∴BE＝AC，

∵四邊形ACDE是平行四邊形，

∴AC＝DE，

∴DE＝BE，

∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

∴DE＝2EF，

∴AE＝EF，

∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，

∴△BEF≌△DEA（SAS），

∴∠EBF＝∠EDA，

∵AC∥DE，

∴∠GAH＝∠EDA．

∴∠EBF＝∠GAH．

∵∠AHG＝∠BHA，

∴△AHG∽△BHA，

∴．

∴AH2＝GHBH．