Question

【題目】如圖，一次函數y1＝mx+n與反比例函數y2＝ （x＞0）的圖象分別交于點A（a，4）和點B（8，1），與坐標軸分別交于點C和點D．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）觀察圖象，當x＞0時，直接寫出y1>y2的解集；

（3）若點P是x軸上一動點，當△COD與△ADP相似時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y1＝﹣x+5， y2=；（2）2＜x＜8；（3）點P的坐標為（2，0）或（0，0）時，△COD與△ADP相似．

【解析】

（1）先將點B代入反比例函數解析式中求出反比例函數的解析式，然后進一步求出A的坐標，再將A,B代入一次函數中求一次函數解析式即可；

（2）根據圖象和兩函數的交點即可寫出y1>y2的解集；

（3）先求出C,D的坐標，從而求出CD,AD,OD的長度，然后分兩種情況：當時，△COD∽△APD；當時，△COD∽△PAD，分別利用相似三角形的性質進行討論即可．

解：（1）把B（8，1）代入反比例函數中，

則，解得

∴反 比 例 函 數 的 關 系 式 為 ，

∵點 A（a，4）在 圖象上，

∴ a＝＝2，即A（2，4）

把A（2，4），B（8，1）兩點代入y1＝mx+n中得

解得：，

所以直線AB的解析式為：y1＝﹣x+5；反比例函數的關系式為y2=，

（2）由圖象可得，當x＞0時，y1>y2的解集為2＜x＜8．

（3）由（1）得直線AB的解析式為y1＝﹣x+5，

當x＝0時，y＝5，

∴ C（0，5），

∴ OC＝5，

當y＝0時，x＝10，

∴D點坐標為（10，0）

∴ OD＝10，

∴ CD＝＝

∵A（2，4），

∴ AD＝＝4

設P點坐標為（a，0），由題可知，點P在點D左側，則PD＝10﹣a

由∠CDO＝∠ADP可得

①當時，，如圖1

此時，

∴，解得a＝2，

故點P坐標為（2，0）

②當時，，如圖2

當時，，

∴，解得a＝0，

即點P的坐標為（0，0）

因此，點P的坐標為（2，0）或（0，0）時，△COD與△ADP相似．