Question

【題目】定義：對角互補且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形．

（1）概念理解：

在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認為屬于奇異四邊形的有__________ ；

（2）性質探究：

①如圖1，四邊形ABCD是奇異四邊形，AB=AD，求證：CA平分∠BCD；

②如圖2，四邊形ABCD是奇異四邊形，AB=AD，∠BCD=2α，試說明：cosα=；

（3）性質應用：

如圖3，四邊形ABCD是奇異四邊形，四條邊中僅有BC=CD，且四邊形ABCD的周長為6+2，∠BAC=45°，AC=3，求奇異四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）正方形；（2）①見解析，②見解析；（3）9.

【解析】

（1）利用奇異四邊形的定義直接判斷即可；
（2）①如圖1，過點A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N．證明△AMB≌△AND，根據全等三角形的性質得到AM=AN，根據角的內部到角兩邊距離相等的點在角平分線上即可證明.

②由①可知：∠ACD=∠BCD=α，根據CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC），得到CN=，在Rt△ACN中，根據余弦的定義即可證明.

（3）連接BD．由（2）可知：cos45°=，得到AD+AB=2AC×=6，根據四邊形ABCD的周長為6+2，得到BC=CD=，得到∠DAB=90°，根據奇異四邊形的性質，有∠BCD=90°，根據S四邊形ABCD=S△ADB+S△BDC即可求解.

（1）根據奇異四邊形的定義可知：正方形是奇異四邊形，故答案為：正方形．

（2）①如圖1，過點A作AM⊥CB于M，AN⊥CD于N．

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABM+∠ABC=180°，

∴∠ABM=∠D，

∵∠AMB=∠AND=90°，AB=AD，

∴△AMB≌△AND，

∴AM=AN，∵AM⊥CB于M，AN⊥CD于N，∴CA平分∠BCD．

②由①可知：∠ACD=∠BCD=α，

∵CN=CD–DN=CD–BM=CD–（CM–BC）=CD–（CN–BC），

∴CN=，

在Rt△ACN中，cosα==．

（3）如圖3，連接BD．

由（2）可知：cos45°=，∴AD+AB=2AC×=6，

∵四邊形ABCD的周長為6+2，∴BC=CD=，

∵∠BAC=∠DAC=45°，

∴∠DAB=90°，

∵四邊形是奇異四邊形，∴∠BCD=90°，

∵AD+AB=6，∴（AD+AB）2=AD2+2ADAB+AB2=36，

∵AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20，

∴ADAB=8，∴S四邊形ABCD=S△ADB+S△BDC=ADAB+CDBC=9．