Question

【題目】如圖，AB＝AC，⊙O為△ABC的外接圓，AF為⊙O的直徑，四邊形ABCD是平行四邊形．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由題意根據垂徑定理得到AF⊥BC，根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，求得AD⊥AF，于是得到AD是⊙O的切線；

（2）根據題意連接OC，OB，根據圓周角定理得到∠BOC=90°，根據勾股定理得到BC=，求得AD=BC=，連接OE，根據梯形和扇形的面積公式即可得到結論．

解：（1）∵AB＝AC，

∴，

∵AF為⊙O的直徑，

∴AF⊥BC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∠AD⊥AF，

∴AD是⊙O的切線；

（2）連接OC，OB，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝90°，

∵AF＝2，

∴OB＝OC＝1，

∴BC＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝，

連接OE，

∵AB∥BD，

∴∠ACE＝∠BAC＝45°，

∴∠AOE＝2∠ACE＝90°，

∵OA＝OE＝1，

∴陰影部分的面積＝S梯形AOED﹣S扇形AOE＝（1+）×1﹣＝．