Question

【題目】某手機店銷售一部A型手機比銷售一部B型手機獲得的利潤多50元，銷售相同數量的A型手機和B型手機獲得的利潤分別為3000元和2000元．

（1）求每部A型手機和B型手機的銷售利潤分別為多少元？

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的手機共110部，其中A型手機的進貨量不超過B型手機的2倍．設購進B型手機n部，這110部手機的銷售總利潤為y元．

①求y關于n的函數關系式；

②該手機店購進A型、B型手機各多少部，才能使銷售總利潤最大？

（3）實際進貨時，廠家對B型手機出廠價下調m（30＜m＜100）元，且限定商店最多購進B型手機80臺．若商店保持兩種手機的售價不變，請你根據以上信息及（2）中的條件，設計出使這110部手機銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】（1）每部A型手機的銷售利潤為150元，每部B型手機的銷售利潤為100元；

（2）①y=﹣50n+16500 （n≥36 ）；②購進A型手機73部、B型手機37部時，才能使銷售總利潤最大；（3）見解析．

【解析】

（1）設每部A型手機的銷售利潤為x元，每部B型手機的銷售利潤為y元，根據題意列出方程組求解；（2）①設購進B型手機n部，則購進A型手機（110﹣n）部，根據銷售總利潤=A型手機的利潤+B型手機的利潤列出函數解析式即可；②利用不等式求出n的范圍，根據一次函數的性質解答即可；（3）據題意得，y=150（110-n）+（100+m）n，即y=（m-50）n+16500，分三種情況討論，①當30＜m＜50時，y隨n的增大而減小，②m=50時，m-50=0，y=16500，③當50＜m＜100時，m-50＞0，y隨n的增大而增大，分別進行求解即可解答．

（1）設每部A型手機的銷售利潤為x元，每部B型手機的銷售利潤為y元，

根據題意，得：，

解得：，

答：每部A型手機的銷售利潤為150元，每部B型手機的銷售利潤為100元；

（2）①設購進B型手機n部，則購進A型手機（110﹣n）部，

則y=150（110﹣n）+100n=﹣50n+16500，

其中，110﹣n≤2n，即n≥36，

∴y關于n的函數關系式為y=﹣50n+16500 （n≥36）；

②∵﹣50＜0，

∴y隨n的增大而減小，

∵n≥36，且n為整數，

∴當n=37時，y取得最大值，最大值為﹣50×37+16500=14650（元），

答：購進A型手機73部、B型手機37部時，才能使銷售總利潤最大；

（3）根據題意，得：y=150（110﹣n）+（100+m）n=（m﹣50）n+16500，

其中，36≤n≤80（n為整數），

①當30＜m＜50時，y隨n的增大而減小，

∴當n=37時，y取得最大值，

即購進A型手機73部、B型手機37部時銷售總利潤最大；

②當m=50時，m﹣50=0，y=16500，

即商店購進B型電腦數量滿足36≤n≤80的整數時，均獲得最大利潤；

③當50＜m＜100時，y隨n的增大而增大，

∴當n=80時，y取得最大值，

即購進A型手機30部、B型手機80部時銷售總利潤最大．