Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點O在邊AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點C，過點C作直線MN，使∠BCM=2∠A．

（1）判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若OA=4，∠BCM=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）．

【解析】試題分析：（1）MN是⊙O切線，只要證明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根據S陰=S扇形OAC﹣S△OAC計算即可．

試題解析：（1）MN是⊙O切線．

理由：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，

∴∠BCM=∠BOC，

∵∠B=90°，

∴∠BOC+∠BCO=90°，

∴∠BCM+∠BCO=90°，

∴OC⊥MN，

∴MN是⊙O切線．

（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，

∴∠AOC=120°，

在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，

∴BO=OC=2，BC=2

∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC=．