Question

【題目】已知，△ABC為等邊三角形，點D為AC上的一個動點，點E為BC延長線上一點，且BD=DE．

（1）如圖1，若點D在邊AC上，猜想線段AD與CE之間的關系，并說明理由；

圖1

（2）如圖2，若點D在AC的延長線上，（1）中的結論是否成立，請說明理由．

圖2

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據等腰三角形性質求出AD=DC，即可得出答案；解：（1）AD=CE，理由：過D作DF∥AB交BC于E，
（2）（1）中的結論仍成立，如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，證明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．

解：（1）AD=CE，
證明：如圖1，過點D作DP∥BC，交AB于點P，

∵△ABC是等邊三角形，
∴△APD也是等邊三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，
又∠BPD=∠A+∠ADP=120°，∠DCE=∠A+∠ABC=120°，
即∠BPD=∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠DEC，∠BPD=∠DCE，DB=DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE；
（2）如圖3，過點D作DP∥BC，交AB的延長線于點P，

∵△ABC是等邊三角形，
∴△APD也是等邊三角形，
∴AP=PD=AD，∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°，
∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠DEC，

在△BPD和△DCE中，

∴△BPD≌△DCE，
∴PD=CE，
∴AD=CE．