Question

【題目】如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點A，C，經過點A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個交點為點B(2，0)，點D是拋物線上一點，過點D作DE⊥x軸于點E，連接AD，DC．設點D的橫坐標為m．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點D在第三象限，設△DAC的面積為S，求S與m的函數關系式，并求出S的最大值及此時點D的坐標；

(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請直接寫出此時點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點D坐標為(﹣4，﹣3)或(8，21).

【解析】

（1）求出A坐標，再用待定系數法求解析式；（2）設DE與AC的交點為點F.設點D的坐標為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標為：(m，﹣m﹣3)，根據S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據對稱性此時∠EAD＝∠ABC．

②作點D(﹣4，﹣3)關于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數圖像交點坐標.

解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當y＝0時，x＝﹣6，

即點A的坐標為：(﹣6，0)，

將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；

(2)設點D的坐標為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標為：(m，﹣m﹣3)，

設DE與AC的交點為點F.

∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，

∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC

＝DFAE+DFOE

＝DFOA

＝×(﹣m2﹣m)×6

＝﹣m2﹣m

＝﹣(m+3)2+，

∵a＝﹣＜0，

∴拋物線開口向下，

∴當m＝﹣3時，S△ADC存在最大值，

又∵當m＝﹣3時，m2+m﹣3＝﹣，

∴存在點D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；

(3)①當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據對稱性此時∠EAD＝∠ABC．

②作點D(﹣4，﹣3)關于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，

直線AD′的解析式為y＝x+9，

由，解得或，

此時直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，

綜上所述，滿足條件的點D坐標為(﹣4，﹣3)或(8，21