Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．

（1）求證：BD是⊙O的切線．

（2）若AB=，E是半圓上一動點，連接AE，AD，DE．

填空：

①當的長度是____________時，四邊形ABDE是菱形；

②當的長度是____________時，△ADE是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②π或π．

【解析】

試題分析：（1）證明：如圖1，連接OD，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴AB=BC，∵D是BC的中點，∴BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODB=∠BAO=90°，即OD⊥BC，∴BD是⊙O的切線．

（2）①當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形；如圖2，設DE交AC于點M，連接OE，則DE=2DM，∵∠C=30°，∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，∵∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵AB=BD，∴四邊形ABDE是菱形；∵AD=BD=AB=CD=BC=，∴△ABD是等邊三角形，OD=CDtan30°=1，∴∠ADB=60°，∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴的長度為： =π；故答案為：；

②若∠ADE=90°，則點E與點F重合，此時的長度為： =π；若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時的長度為： =π；∵AD不是直徑，∴∠AED≠90°；綜上可得：當的長度是π或π時，△ADE是直角三角形．故答案為：π或π．