Question

【題目】如圖，動點在以為圓心，為直徑的半圓弧上運動（點不與點及的中點重合），連接.過點作于點，以為邊在半圓同側作正方形，過點作的切線交射線于點，連接、.

（1）探究：如左圖，當動點在上運動時；

①判斷是否成立？請說明理由；

②設，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；

③設，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；

（2）拓展：如右圖，當動點在上運動時；

分別判斷（1）中的三個結論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結論.（均不必說明理由）

Answer 1

【答案】(1)①成立，理由見解析；②為定值1；③為定值45°；（2）不發生變化.

【解析】

試題分析：(1) ①∠MEO=∠MDN=90°，∠MOE=∠DMN,證明△OEM∽△MDN；②過點B作BG⊥MN, 證明△BME≌△BMG, 得BM=MG,再證明△BNG≌△BCN,得GN=CN，從而得k=1；③由②知∠OBM=∠MBG得BM=MG, 有△BNG≌△BCN,得∠GBN=∠CBN,，即可得為定值45°；（2）和（1）的思路相同，不發生變化.

試題解析：

（1）①成立，理由如下：

過點M作ME⊥AB于點E，以BE為邊在半圓同側作正方形BCDE，

∴∠MEO=∠MDN=90°，

∴∠MOE+∠EMO=90°

過M點的的切線交射線DC于點N，

∴∠OMN=90°，

∴∠DMN+∠EMO=90°

∴∠MOE=∠DMN

∴△OEM∽△MDN

②k是定值1，理由如下：

過點B作BG⊥MN,

∵過M點的的切線交射線DC于點N，

∴∠OMN=90°，

∵BG⊥MN,

∴∠BGM=90°，

∴∠OMN=∠BGM=90°，

∴OM∥BG

∴∠OMB=∠MBG,

∵OM=OB

∴∠OMB=∠OBM,

∴∠OBM=∠MBG,

∴△BME≌△BMG,

∴BM=MG,BG=BE,

∵正方形BCDE，

∴BG=BC

∴△BNG≌△BCN,

∴GN=CN

∴MN=MG+NG=ME+CN

即

③為定值45°，理由如下：

由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG≌△BCN,

∴∠GBN=∠CBN,

∵正方形BCDE，

∴∠EBC=90°，

∴∴∠MBN=

(2)不發生變化.