Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c，經過矩形OABC的A(3，0)，C(0，2)，連結OB．D為橫軸上一個動點，連結CD，以CD為直徑作⊙M，與線段OB有一個異于點O的公共點E，連結DE．過D作DF⊥DE，交⊙M于F．

(1)求拋物線的解析式；

(2)tan∠FDC的值；

(3)①當點D在移動過程中恰使F點落在拋物線上，求此時點D的坐標；

②連結BF，求點D在線段OA上移動時，BF掃過的面積．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+x+2；(2)；(3)①(﹣，0)；②3

【解析】

(1)將點A、C的坐標代入拋物線的表達式，即可求解；

(2) 連接CE、CF、FO，證明∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，即可求解；

(3) ①如圖2，連接FO，則∠FOG=∠FCD，證明∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，通過tan∠FOG=tan∠COB=，來確定直線OF的表達式，進而求解；

②如圖3，當點D、O重合時，連接CF、BF，由①知tan∠FOG=，設FG=3a，則OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，由①同理可得：△CHF∽△FGO，則，求得a的值，根據BF掃過的面積為△BOF的面積，即可求解．

解：(1)將點A、C的坐標代入拋物線的表達式得： ，

解得：，

故拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；

(2)如圖1，連接CE、CF、FO，

∵CD是直徑，

∴∠CED=90°，即CE⊥DE，

又∵DF⊥DE，

∴∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，

∴tan∠FDC=tan∠BOA=；

(3)①如圖2，

連接FO，則∠FOG=∠FCD，

∵CD是直徑，

∴∠CFD=90°，

同理∠FDE=90°，

∴FC∥DE，

∴∠FCD=∠CDE=∠COE，

∴∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，

∴tan∠FOG=tan∠COE=tan∠COB=，

故直線OF的表達式為：y=﹣x②，

聯立①②并解得：，故點F(﹣1，)；

過點F作y軸的平行線GH，交x軸于點G，交過點C與x軸的平行線于點H，

∴FG=，CH=1，HF=2﹣=，

∵∠HFC+∠GFD=90°，∠HFC+∠HCF=90°，

∴∠HCF=∠GFD，

又∠CHF=∠FGD=90°，

∴△CHF∽△FGD，

∴，即，解得：GD=，

∴OD=1﹣=，

故點D的坐標為：(﹣，0)；

②如圖3，當點D、O重合時，連接CF、BF，

則BF掃過的面積為△BOF的面積，∠CFO=90°，

過點F作y軸的平行線HG，交x軸于點G，交過點C與x軸的平行線于點H，

由①同理可得：△CHF∽△FGO，則，

由①知tan∠FOG=，設FG=3a，則OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，

∴，解得：a=；

在Rt△FOG中，FO=，

同理在Rt△AOB中，OB=，

∵EF是圓的直徑，故OF⊥OE，

BF掃過的面積=S△BOF=×BO×FO=，

故BF掃過的面積為3．