Question

【題目】已知點A（﹣4，8）和點B（2，n）在拋物線y＝ax2上．

（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點坐標，并求出n的值；

（Ⅱ）求點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求此時點Q的坐標；

（Ⅲ）平移拋物線y＝ax2，記平移后點A的對應點為A'，點B的對應點為B'，點C（﹣2，0）是x軸上的定點．

①當拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的解析式；

②D（﹣4，0）是x軸上的定點，當拋物線向左平移到某個位置時，四邊形A'B'CD的周長最短，求此時拋物線的解析式（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（I）y＝；（0，0）；2；（II）P（2，﹣2）；Q（，0）；（III）①y＝（x+）2；②y＝（x+）2．

【解析】

（I）把（﹣4，8）代入y＝ax2可求得a的值，可得拋物線的解析式，這條拋物線的頂點是原點，把x＝2代入所求的拋物線解析式，可得n的值；

（II）求得AP與x軸的交點即為Q的坐標；

（III）①先計算CQ的長，可知平移的距離和方向，用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可；

②左右平移時，使A′D+DB′′最短即可，那么作出點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′，得到直線A′′B′′的解析式，將點D的坐標代入，可得b的值，同理用頂點式設出相應的函數解析式，把新頂點坐標代入即可．

解：（I）將點A（﹣4，8）的坐標代入y＝ax2，

解得a＝，

∴拋物線的解析式是y＝，頂點坐標是（0，0），

將點B（2，n）的坐標代入y＝x2，得n＝＝2；

（II）由（I）知：點B的坐標為（2，2），

則點B關于x軸對稱點P的坐標為（2，﹣2），

如圖1，連接AP與x軸的交點為Q，此時AQ+BQ最小，

設直線AP的解析式為y＝kx+b，，

解得：

∴直線AP的解析式是y＝﹣x+，

令y＝0，得x＝，

即所求點Q的坐標是（，0）；

（III）①∵點C（﹣2，0），點Q的坐標是（ ，0）

∴CQ＝﹣（﹣2）＝，

故將拋物線y＝x2向左平移個單位時，A′C+CB′最短，

此時拋物線的函數解析式為y＝（x+）2；

②左右平移拋物線y＝x2，

∵線段A′B′和CD的長是定值，

∴要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′在增大，

∴不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短；

第二種情況：設拋物線向左平移了b個單位，如圖2，

則點A′和點B′的坐標分別為A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．

∵CD＝2，

∴將點B′向左平移2個單位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，

∵點A′關于x軸對稱點的坐標為A′′（﹣4﹣b，﹣8），

由A'和B'兩點的坐標得：直線A′′B′′的解析式為y＝x+b+2．

要使A′D+DB′′最短，點D應在直線A′′B′′上，

將點D（﹣4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b＝．

∴將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，

此時拋物線的函數解析式為y＝（x+）2．