Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為F，連接DF，則下列四個結論中，錯誤的是（ ）

A. △AEF～△CABB. CF=2AFC. DF=DCD. tan∠CAD=

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故A正確；根據點E是AD邊的中點，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF，故B正確；過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故C正確；設AE=a，AB=CD=b，則AD=2a，通過證明△BAE∽△ADC，可得=，進而可得b=a，根據正切的定義可得tan∠CAD===，即可證明D錯誤.

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故A正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴=，

∵AE=AD=BC，

∴=，

∴CF=2AF，故B正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故C正確；

設AE=a，AB=CD=b，則AD=2a，

∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FAE，

∵∠AFE=∠ADC=90°，

∴△BAE∽△ADC，

∴，即=，

∴b=a，

∴tan∠CAD===，故D錯誤；

故選D.