Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（﹣3，0），點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，且滿足 +|OA﹣1|=0

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP．設(shè)△ABP的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +|OA﹣1|=0

∴OA﹣1=0、OB2﹣3=0，

∴OA=1、OB= ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）、B的坐標(biāo)（0， ）

（2）解：∵C（﹣3，0），B（0， ）；

∴OC=3，OB=

在RT△BOC中，BC= =2 ，

設(shè)點(diǎn)A到直線CB的距離為y，則

×2 y= ×（3+1）× ，

解得y=2．

則S= ×|2 ﹣t|×2=|2 ﹣t|．

故S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣t+2 （0≤t≤2 ）或S=t﹣2 （t＞2 ）

（3）解：存在，

理由：∵tan∠OBC= = = ，

∴∠OBC=60°，

∴∠BCO=30°，

∴BC=2OB=2 ，

∵tan∠OBA= = = ，

∴∠OBA=30°，

∴∠ABC=90°，AB=2OA=2，

①當(dāng)0≤t≤2 時(shí)，若△PBA∽△AOB時(shí)，則 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（﹣1， ）；

若△ABP∽△AOB時(shí)，則 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（﹣3，0），

②當(dāng)t＞2 時(shí)，若△PBA∽△AOB時(shí)，則 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（1， ）；

若△ABP∽△AOB時(shí)，則 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（3，2 ），

所以，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1， ）或（﹣3，0）或（1， ）或（3，2 ）．

【解析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到OA、OB的長，即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理得到CB的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可得到點(diǎn)A到直線CB的距離；再根據(jù)的面積公式，即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先求得∠ABC=90°，然后分兩種情況討論即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．