Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，點E是斜邊AB的中點，AB=10，BC=8，點P在CE的延長線上，過點P作PQ⊥CB，交CB的延長線于點Q，設EP=x

（1）如圖1，求證：△ABC∽△PCQ；

（2）如圖2，連接PB，當PB平分∠CPQ時，試用含x的代數式表示△PBE的面積；

（3）如圖3，過點B作BF⊥AB交PQ于點F．若∠BEF=∠A，試求x的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）x=10．

【解析】

（1）易證明到∠PQC=∠ACB．即可求證：△ABC∽△PCQ

（2）過點B作BH⊥PC于H，可證BH=BQ，此時根據（1）中：△ABC∽△PCQ，可解得BQ=BH=，即可求解．

（3）已知BC=8，AB=10，通過證明△ABC∽△BFQ，求出BF，再證△ACB∽△EBF，可得，即可求出x的值．

解：（1）∵點E是斜邊AB的中點，

∴CE=，

∴∠PCQ=∠ABC

∵PQ⊥CB

∴∠PQC=90°

又∵∠ACB=90°，

∴∠PQC=∠ACB

∴△ABC∽△PCQ

（2）過點B作BH⊥PC于H，

∵BP平分∠CPQ，BH⊥PC，BQ⊥PQ

∴BH=BQ

由（1）知，△ABC∽△PCQ，

∴，即AB×CQ=BC×PC

而AB=10，BC=8，CQ=BC+BQ=8+BQ，PC=CE+EP=5+x

∴10×（8+BQ）=8×（5+x），解得BQ=，

∴BH=

（3）∵∠FBQ+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°

∴∠A=∠FBQ

又∵∠ACB=∠EBF=90°，

∴△ABC∽△BFQ

∴，即AB×BQ=AC×BF

又由（2）知BQ=

∴=6×BF，解得BF=

∵∠FEB=∠A，∠EBF=∠ACB=90°

∴△ACB∽△EBF

∴，即

解得x=10