Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，過點和點，與y軸交于點C，連接AC交x軸于點D，連接OA，OB

求拋物線的函數表達式；

求點D的坐標；

的大小是______；

將繞點O旋轉，旋轉后點C的對應點是點，點D的對應點是點，直線與直線交于點M，在旋轉過程中，當點M與點重合時，請直接寫出點M到AB的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．（4）或．

【解析】

（1）將點和點代入函數解析式，解方程即可得出答案；

（2）根據拋物線與y軸交于點C，可求出點C坐標為，再根據點，用待定系數法求出直線AC的解析式，將y=0代入直線AC的解析式，即可求出點D的坐標；

（3）連接AB，根據點A、B、O三點的坐標可分別求出線段，，，根據勾股定理逆定理可得

；

（4）過點M作于點H，則MH的長為點M到AB的距離；分兩種情況討論，當點M與點重合且在y軸右側時，根據旋轉以及點M與點重合可得，可得，，，可得出，所以∽，易證；設，則，根據勾股定理得出，解出符合條件的的值，再根據面積法可得；當點M與點重合且在y軸左側時用同樣的方法可得出的值.

解：拋物線過點和點

解得：

拋物線的函數表達式為：

當時，

設直線AC解析式為：

解得：

直線AC解析式為

當時，，解得：

如圖1，連接AB

，

，，

故答案為：．

過點M作于點H，則MH的長為點M到AB的距離．

如圖2，當點M與點重合且在y軸右側時，

繞點O旋轉得即

，，

，，

即

，

∽

，

，即

設，則，

在中，

解得：舍去，

，

如圖3，當點M與點重合且在y軸左側時，

即

同理可證：∽

，

，即

設，則，

在中，

解得：，舍去

，

綜上所述，點M到AB的距離為或．