Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，C、E是⊙O上的兩點，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延長AE交BC的延長線于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）求證：CE=CF；

（3）若BD=1，CD=，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即結論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，則CE=CF；

（3）證明△DCB∽△DAC，可求出DA的長，求出AB長，設BC=a，AC=a，則由勾股定理可得AC的長．

解：（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∵CE=CB，

∴∠CAE=∠CAB，

∵∠BCD=∠CAE，

∴∠CAB=∠BCD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD=90°，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB=CF，

又∵CB=CE，

∴CE=CF；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD﹣BD=2﹣1=1，

設BC=a，AC=a，由勾股定理可得：，

解得：a=，

∴.