Question

【題目】拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于點A、B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.

(1)求直線BC的表達式；

(2)拋物線的對稱軸上存在點P，使∠APB＝∠ABC，利用圖①求點P的坐標；

(3)點Q在y軸右側的拋物線上，利用圖②比較∠OCQ與∠OCA的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x＋3（2）P點的坐標為(1，2＋2)或(1，－2－2)（3）當Q點的橫坐標為5時，∠OCA＝∠OCQ；當Q點的橫坐標大于5時，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；當Q點的橫坐標小于5且大于0時，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ.

【解析】試題分析：（1）由拋物線解析式可求B、C的坐標，利用待定系數法可求直線BC的解析式；

（2）由直線BC的解析式可知∠APB=∠ABC=45°，設拋物線對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，結合二次函數的對稱性可得PB=PD，根據勾股定理求出BD的長，從而求出PE的長，進而求出P的坐標；

（3）設Q（x，－x2＋2x＋3），當∠OCA=∠OCQ時，利用三角形相似可得到關于x的方程，求出Q點的橫坐標，再結合圖形比較兩角的大小.

試題解析：(1)在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0可得0＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，令x＝0可得y＝3，∴B(3，0)，C(0，3)．∴可設直線BC的表達式為y＝kx＋3，把B點坐標代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直線BC的表達式為y＝－x＋3.

(2)∵OB＝OC，∴∠ABC＝45°.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.

設拋物線的對稱軸交直線BC于點D，交x軸于點E，當點P在x軸上方時，如圖甲，∵∠APB＝∠ABC＝45°，且PA＝PB，∴∠PBA＝67.5°，∠DPB＝∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB.在Rt△BDE中，BE＝DE＝2，∴BD＝2，∴PE＝2＋2，∴P(1，2＋2)；

當點P在x軸下方時，由對稱性可知P點坐標為(1，－2－2)．

綜上可知，P點的坐標為(1，2＋2)或(1，－2－2)．

(3)設Q(x，－x2＋2x＋3)，當點Q在x軸下方時，如圖乙，過點Q作QF⊥y軸于點F，則CF＝x2－2x.當∠OCA＝∠OCQ時，則△QFC∽△AOC，∴，即，解得x＝0(舍去)或x＝5.

∴當Q點的橫坐標為5時，∠OCA＝∠OCQ；當Q點的橫坐標大于5時，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；當Q點的橫坐標小于5且大于0時，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ.