Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O，D為⊙O上一點，連接AD、BD、CD，且BD＝AB

（1）求證：∠ABD＝2∠BDC；

（2）若D為弧AC的中點，求tan∠BDC．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）tan∠BDC＝．

【解析】

（1）連接OD，連接BO并延長交AD于H，可得△BOA≌△BOD，所以∠ABO=∠DBO，再證CD∥BO，可得∠ABD=2∠DBO=2∠BDC；
（2）由D為弧AC的中點，可得△AOD，△OCB為等腰直角三角形，在Rt△BHD中利用銳角三角形函數的定義求得tan∠DBO的值，即可得出tan∠BDC的值．

（1）如圖，連接OD，連接BO并延長交AD于H，

∵OD＝OA，BD＝AB，OB＝OB，

∴△BOA≌△BOD（SSS），

∴∠ABO＝∠DBO，

∴BH⊥AD，

∵以AC為直徑作⊙O，

∴CD⊥AD，

∴CD∥BO，

∴∠BDC＝∠DBO，

∴∠ABD＝2∠DBO＝2∠BDC；

（2）∵D為弧AC的中點，

∴∠AOD＝∠COD＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝∠HOD＝45°，

∴∠COB＝∠OBC＝45°，

設OH＝DH＝a，

∴OC＝OD＝a，

∴OB＝2a，

在Rt△BDH中，tan∠DBO＝，

∵∠BDC＝∠DBO，

∴tan∠BDC＝．