Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5），連接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；

（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值為

【解析】試題分析：（1）根據(jù)Rt△ABC的性質(zhì)得出AB和BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)BM=BN得出t的值；（2）分△MBN∽△ABC和△NBM∽△ABC兩種情況分別求出t的值；（3）根據(jù)四邊形的面積等于△ABC的面積減去△BMN的面積得出函數(shù)解析式，從而求出最值.

試題解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴，

由題意知，，， 由BM=BN得

解得：

（2）①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)， ∴，即，解得：

②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)， ∴， 即，解得：．

∴當(dāng)或時(shí)，△MBN與△ABC相似．

（3）過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，可得：設(shè)四邊形ACNM的面積為，

∴

．

∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，的值最小． 此時(shí)，