Question

【題目】如圖①，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E在BC上，連接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）如圖②，當∠ABC＝90°時，線段DE與BC有什么數量關系？請說明理由．

（3）如圖③，若AB＝AC＝10，sin∠CDE＝，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝BC，見解析；（3）4

【解析】

（1）先判斷出∠BDC＝90°，再判斷出∠ABD＝∠ODB，即可得出結論；

（2）先判斷出BE＝DE，再判斷出CE＝DE，即可得出結論；

（3）先利用三角函數求出AB＝10，AD＝6，再用勾股定理求出BD＝8，即可得出結論．

解：（1）證明：如圖①，連接OD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDE+∠BDE＝∠BDC＝90°．

∵∠CDE＝∠ABD，

∴∠ABD+∠BDE＝90°．

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠ODB+∠BDE＝90°，

即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（2）DE＝BC．

理由如下：由（1）知∠ODE＝90°，

∴∠ODB+∠BDE＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠OBD+∠DBE＝90°．

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE．

∵∠ABC＝90°，

∴∠C+∠A＝90°．

∵∠ABD+∠A＝90°，

∴∠C＝∠ABD．

∵∠CDE＝∠ABD，

∴∠C＝∠CDE，

∴DE＝CE，

∴BE＝DE＝CE．

∴DE＝BC．

（3）∵∠CDE＝∠ABD，

∴sin∠CDE＝sin∠ABD＝．

在Rt△ABD中，

∵sin∠ABD＝＝，AB＝10，

∴AD＝AB＝×10＝6，

∴BD＝＝＝8．

在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，CD＝10﹣6＝4，

∴BC＝＝＝4．