Question

【題目】如圖．拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若直線是拋物線的對稱軸，設(shè)點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)的周長最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓與邊交于點(diǎn)(與點(diǎn)不同)，且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）的值為或．

【解析】

（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．
（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
（3）由于△QBO的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①QB=BO、②QB=QO、③QO=BO；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△QBO的三邊長，再按上面的三種情況列式求解即可．

解：經(jīng)過

解之得：

函數(shù)解析式為

如圖，拋物線的對稱軸是直線

當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，

最小，的周長最小．

設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)為

又，得

由

得

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

過點(diǎn)作交于點(diǎn)

則根據(jù)直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，知點(diǎn)在以為直徑的圓上

由

可證是直角三角形

得

由可得

則

由，得

分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)在垂直平分線上，是的中點(diǎn)，

得．

解得

②當(dāng)時(shí)，

解得：

③當(dāng)時(shí)，

由于，

從而點(diǎn)在的延長線上，

這樣點(diǎn)不在線段上

綜上所述，的值為或．