Question

【題目】如圖 1，點 A(2，1)，點 A 與點 B 關(guān)于 y 軸對稱，AC∥y 軸，且 AC=3，連接 BC 交 y 軸于點 D.

（1）點 B 的坐標為_____，點 C 的坐標為_____；

（2）如圖 2，連接 OC，OC 平分∠ACB，求證：OB⊥OC；

（3）如圖 3，在（2）的條件下，點 P 為 OC 上一點，且∠PAC=45°，求點 P 的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（-2，1） （2，4）；（2）見解析；（3）P（1,2）

【解析】

(1)由軸對稱可得B、C點坐標；

（2）由OC 平分∠ACB，可得∠1=∠2，又∠3=∠2，可得CD=DO，CE⊥y 軸于點 E，連接 AB 交 y 軸于點 F，可證的△CDE≌△BDF（AAS），可得CD=BD，BD=CD=OD，∠DBO=∠DOB，可得OB⊥OC；

（3）連接 BP，作 PQ⊥x 軸于點 Q，由點 A，點 B 關(guān)于 y 軸對稱 可得∠BAC =90，∠PAC =45，PA 平分∠CAB，可證的OB=OP，可得△BOF≌△POQ（AAS）．可得PQ=BF=2，OQ=OF=1，P（1，2）.

（1）B（-2，1），C（2，4）．

（2）∵OC 平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵AC∥y 軸，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴CD=DO．

作 CE⊥y 軸于點 E，連接 AB 交 y 軸于點 F，

∵點 A，點 B 關(guān)于 y 軸對稱，

∴BF⊥y 軸，

∴∠CED=∠BFD，

∵B（-2，1），C（2，4），

∴CE=BF=2，

在△CDE 和△BDF 中，

CED BFDCDE BDF，CE BF，

∴△CDE≌△BDF（AAS）．

∴CD=BD，

∴BD=CD=OD，

∴∠DBO=∠DOB，

∵∠1+∠3+∠DBO+∠DOB=180°，

∴∠3+∠DOB=90°，

∴OB⊥OC；

（3）連接 BP，作 PQ⊥x 軸于點 Q，

∵點 A，點 B 關(guān)于 y 軸對稱，

∴AB⊥y 軸，

∴∠BAC =90，

∵∠PAC =45，

∴PA 平分∠CAB，

∵OC 平分∠ACB，

∴BP 平分∠ABC．

∴∠BPC=135°，

∴∠BPO=45°．

∵∠BOP=90°，

∴OB=OP，

在△BOF 和△POQ 中，

BFO PQO，BOF POQ，OB OP，

∴△BOF≌△POQ（AAS）．

∴PQ=BF=2，OQ=OF=1，

∴P（1，2）.