Question

【題目】在正方形ABCD中，點P在射線AC上，作點P關于直線CD的對稱點Q，作射線BQ交射線DC于點E，連接BP．

（1）當點P在線段AC上時，如圖1．

①依題意補全圖1；

②若EQ=BP，則∠PBE的度數為　 　，并證明；

（2）當點P在線段AC的延長線上時，如圖2．若EQ=BP，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求BE長的思路．（可以不寫出計算結果）

Answer 1

【答案】（1）①作圖見解析；②45°（2）見解析.

【解析】

（1）①作點P關于直線CD的對稱點Q，作射線BQ交射線DC于點E，連接BP；②依據題意得到DP=EP，再根據四邊形內角和求得∠BPE=90°，根據BP=EP，即可得到∠PBE=45°；

（2）連接PD，PE，依據△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根據DP=EP，可得∠3=∠1，進而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE長．

解：（1）①作圖如下：

②如圖，連接PD，PE，易證△CPD≌△CPB，

∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，

∵P、Q關于直線CD對稱，

∴EQ=EP，

∵EQ=BP，

∴DP=EP，

∴∠CDP=∠DEP，

∵∠CEP+∠DEP=180°，

∴∠CEP+∠CBP=180°，

∵∠BCD=90°，

∴∠BPE=90°，

∵BP=EP，

∴∠PBE=45°，

故答案為：45°；

（2）思路：如圖，連接PD，PE，

易證△CPD≌△CPB，

∴DP=BP，∠1=∠2，

∵P、Q關于直線CD對稱，

∴EQ=EP，∠3=∠4，

∵EQ=BP，

∴DP=EP，

∴∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴∠5=∠BCE=90°，

∵BP=EP，

∴∠PEB=45°，

∴∠3=∠4=22.5°，

在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE長．