Question

【題目】如圖，二次函數y=mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，頂點D的橫坐標為1．

（1）求二次函數的表達式及A、B的坐標；
（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y軸上一點，Q（﹣5，0），將點Q繞著點P順時針方向旋轉90°得到點E．當點E恰好在該二次函數的圖象上時，求t的值；
（3）在（2）的條件下，連接AD、AE．若M是該二次函數圖象上一點，且∠DAE=∠MCB，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點坐標的橫坐標為1，

∴ ，

解得，m1=﹣1，m2=0（舍去）

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+2x+3，

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

（2）

解：如圖1，過點E作EH⊥y軸于點H，

∵∠PQO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90°，

∴∠HPE=∠PQO，

由旋轉知，PQ=PE，

在△EPH和△PQO中， ，

∴△EPH≌△PQO，

∴EH=OP=﹣t，HP=OQ=5

∴E（﹣t，5+t）

當點E恰好在該二次函數的圖象上時，有5+t=﹣t2﹣2t+3

解得t1=﹣2，t2=﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），

（3）

解：設點M（a，﹣a2+2a+3）

①若點M在x軸上方，

如圖2，過點M作MN⊥y軸于點N，

過點D作DF⊥x軸于點F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠DAF

∴△MCN∽△DAF，

∴ ，即

∴ ，a2=0（舍去）

∴ ，

②若點M在x軸下方，

如圖3，過點M作MN⊥y軸于點N，

過點D作DF⊥x軸于點F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠ADF

∴△MCN∽△ADF

∴ ，即

∴a1=4，a2=0（舍去）

∴M（4，﹣5）

綜上所述， 或M（4，﹣5）．

【解析】（1）利用拋物線的頂點坐標的橫坐標為1建立方程即可求出M，進而得出拋物線解析式，再令y=0解一元二次方程即可得出點A，B的坐標；（2）先構造出全等三角形△EPH≌△PQO，進而得出EH=OP=﹣t，HP=OQ=5，即可得出點E的坐標，代入拋物線解析式中即可求出t；（3）分兩種情況討論計算，①點M在x軸上方時，構造相似三角形△MCN∽△DAF得出比例式建立方程即可求出點M的坐標，②點M在x軸下方時，同①的方法即可得出點M的坐標．