Question

【題目】已知關于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0

（1）證明原方程有兩個不相等的實數根；

（2）若拋物線y=x2﹣（m﹣3）x﹣m與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，則A，B兩點間的距離是否存在最大或最小值？若存在，求出這個值；若不存在，請說明理由．（友情提示：AB=|x1﹣x2|）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，AB有最小值為2．

【解析】分析：（1）根據根的判別式，可得答案；（2）根據根與系數的關系，可得A、B間的距離，根據二次函數的性質，可得答案．

本題解析：

（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，

∵（m﹣1）2≥0，

∴△=（m﹣1）2+8＞0，

∴原方程有兩個不等實數根；

（2）存在，

由題意知x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=m﹣3，x1x2=﹣m．

∵AB=|x1﹣x2|，

∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，

∴當m=1時，AB2有最小值8，

∴AB有最小值，即AB==2．