Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：
對(duì)于⊙C及⊙C外一點(diǎn)P，M，N是⊙C上兩點(diǎn)，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，稱∠MPN為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，
①已知點(diǎn)A（0，2），畫出點(diǎn)A關(guān)于⊙O的“視角”；若點(diǎn)P在直線x=2上，則點(diǎn)P關(guān)于⊙O的最大“視角”的度數(shù) ；
（2）在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B（m，m），點(diǎn)B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)P在直線y=﹣ x+2上，且點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．
（4）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣1），若線段EF上所有的點(diǎn)關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）60o
（2）解: ∵點(diǎn)B關(guān)于⊙O的視角為60°，

∴BM與⊙O相切，且∠MBO=30°，

∴點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即OB=2，

∵B（m，m） （m＞0），

∴OB= = m=2，

∴m=

∴B（ ， ）；

（3）解: 如圖3，

∵點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，

∴∠MPO＞30°，

∴sin∠MPO= ＞sin30°，

∴OP＜2，

∵點(diǎn)P不在⊙C上，

∴1＜OP＜2

∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi)，

∵點(diǎn)P在直線y= x+2上，

由圖4，

可得xp=0或xP=

∴0＜xP＜

（4）解: 如圖5，

①當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸時(shí)，

在線段EF上取一點(diǎn)P，當(dāng)PM，PN都與⊙C相切時(shí)，∠MPN最大，當(dāng)∠MPN=120°時(shí)，連接CP，

∴∠CPM=60°，

在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM= = = ，

∴CP= ，

∵線段EF上所有的點(diǎn)關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，

∴點(diǎn)P和原點(diǎn)O重合時(shí)，視角只要小于120°時(shí)，即可，OP最大=CP= ，

此時(shí)，滿足條件的xC

②當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸時(shí)，同①可得，xC＜﹣ ，

即：滿足條件的xC 或xC＜﹣

【解析】（1）解: 畫如圖1所示，

如圖2，當(dāng)∠MPN最大時(shí)，此時(shí)PM與PN與⊙O相切，

∵⊙O的半徑為r=1，

∴sin∠MPO= ，

當(dāng)OP最小時(shí)，此時(shí)sin∠MPO最大，即∠MPO最大，

∴sin∠MPO= ，

∴∠MPO=30°

∴∠MPN=2∠MPO=60°；