Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是邊AB上一點，聯結CE．

（1）如果CE＝CD，求證：AD＝AE；

（2）聯結DE，如果存在點E，使得△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似，求AD的長；

（3）設點E關于直線CD的對稱點為M，點D關于直線CE的對稱點為N，如果AD＝，且M在直線AD上時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）過C點作CF⊥AD，交AD的延長線于F，可證ABCF是正方形，即AB=BC=CF=FA;再由“HL”證得Rt△CBE≌Rt△ CFD，可得BE=FD，最后用線段的和差即可；

（2）分∠EDC＝90°和∠DEC＝90°兩種情況討論，運用相似三角形的性質和直角三角形的性質即可求解；

（3）連接EM交CD于Q，連接DN交CE于P，連接ED，CM，作CF⊥AD于F，由軸對稱的性質可得∠CPD=∠CQE=90°，DC垂直平分EM，可證Rt△CBE≌Rt△CFM，可得BE=FM，由勾股定理可求BE、CE的長，通過證明△CDP∽△CEQ，最后運用相似三角形的性質即可解答．

（1）證明：如圖，過C點作CF⊥AD，交AD的延長線于F，

∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC，

∴四邊形ABCF是正方形，

∴AB＝BC＝CF＝FA，

又∵CE＝CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），

∴BE＝FD，

∴AD＝AE；

（2）①若∠EDC＝90°時，

若△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似，

那么∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE＝30°，

在△CBE中，∵BC＝1，

∴，，

∵AB＝1，

∴，

∴，

此時≠，

∴△CDE與△ADE、△BCE不相似；

②如圖，若∠DEC＝90°時，

∵∠ADE+∠A＝∠BEC+∠DEC，∠DEC＝∠A＝90°，

∴∠ADE＝∠BEC，且∠A＝∠B＝90°，

∴△ADE∽△BEC，

∴∠AED＝∠BCE，

若△CDE與△ADE相似，

∵AB與CD不平行，

∴∠AED與∠EDC不相等，

∴∠AED＝∠BCE＝∠DCE，

∴若△CDE與△ADE、△BCE相似，

∴，

∴AE＝BE，

∵AB＝1，

∴AE＝BE＝，

∴AD＝；

（3）連接EM交CD于Q，連接DN交CE于P，連接ED，CM，作CF⊥AD于F，

∵E關于直線CD的對稱點為M，點D關于直線CE的對稱點為N，

∴∠CPD＝∠CQE＝90°，DC垂直平分EM，

∠PCD＝∠QCE，

∴△CDP∽△CEQ，

∴，

∵AD∥BC，AB⊥BC，，AB＝BC＝1，

∴，

∵CD垂直平分EM，

∴DE＝DM，CE＝CM，

在Rt△CBE和Rt△CFM中，CB＝CF，EC＝CM，

∴Rt△CBE≌Rt△CFM（HL）

∴BE＝FM，

設BE＝x，則FM＝x，

∵ED＝DM，且AE2+AD2＝DE2，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵DN＝2DP，EM＝2EQ，

∴．