Question

【題目】如圖示，AB是⊙O的直徑，點F是半圓上的一動點（F不與A，B重合），弦AD平分∠BAF，過點D作DE⊥AF交射線AF于點AF．

（1）求證：DE與⊙O相切：

（2）若AE＝8，AB＝10，求DE長；

（3）若AB＝10，AF長記為x，EF長記為y，求y與x之間的函數關系式，并求出AFEF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）y＝﹣x+5，

【解析】

（1）連接OD，根據三角形外角和，AD是∠BAF的角平分線求得OD∥AF，又由DE⊥AF，即可得到DE與⊙O相切；

（2）連接BD，先找出△AED∽△ADB，根據AD：AB＝AE：AD求出AD2＝80，在Rt△AED中，根據勾股定理求解即可；

（3）連接DF，過點D作DG⊥AB于G，證明△AED≌△AGD，得到∠FAD＝∠DAB，進而得到即DF＝DB，在求證Rt△DEF≌Rt△DGB，得到AB=AF+2EF，即x+2y=10，得到AEEF＝﹣x2+5x，求該二次函數最大值即可．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAF，

∴∠OAD＝∠FAD，

∴∠ODA＝∠FAD，

∴OD∥AF，

∵DE⊥AF，

∴DE⊥OD，

又∵OD是⊙O的半徑，

∴DE與⊙O相切；

（2）解：連接BD，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵DE⊥AF，

∴∠AED＝90°＝∠ADB，

又∵∠EAD＝∠DAB，

∴△AED∽△ADB，

∴AD：AB＝AE：AD，

∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，

在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝ ＝＝4；

（3）連接DF，過點D作DG⊥AB于G，如圖3所示：

在△AED和△AGD中，，

∴△AED≌△AGD（AAS），

∴AE＝AG，DE＝DG，

∵∠FAD＝∠DAB，

∴，

∴DF＝DB，

在Rt△DEF和Rt△DGB中，，

∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），

∴EF＝BG，

∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，

即：x+2y＝10，

∴y＝﹣x+5，

∴AEEF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，

∴AFEF有最大值，當x＝5時，AFEF的最大值為．