Question

【題目】如圖，點P為△ABC的內心，延長AP交△ABC的外接圓⊙O于D，過D作DE∥BC，交AC的延長線于E點．①則直線DE與⊙O的位置關系是_____；②若AB＝4，AD＝6，CE＝3，則DE＝_____．

Answer 1

【答案】相切

【解析】

①連接OD，根據內心的性質得到∠BAD=∠DAE，再根據圓周角的推論得到，利用垂徑定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，即可得到OD⊥DE；

②連接BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根據同弧所對的圓周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，則，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先計算出CD，再計算出DE．

解：①連OD，如圖，

∵點P為△ABC的內心，

∴∠BAD=∠DAE，

∴，

∴OD⊥BC，

而DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

②連BD，DC，如圖，

則BD=CD，

∵BC∥DE，

∴∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，

而∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，

∴∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，

∴△CDE∽△BAD，

∴

而AB=4，AD=6，CE=3，BD=CD，

∴，

∴CD=2，則DE=3．

故答案為：相切；3．