Question

【題目】已知：如圖，⊿ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D．

（1）求證：PD是⊙O的切線．

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

又∵OP=OB，∠OPB=∠B，

∴∠C=∠OPB，

∴OP∥AD；

又∵PD⊥AC于D，

∴∠ADP=90°，

∴∠DPO=90°，

∴PD是⊙O的切線．

解：（2）連接AP，

∵AB是直徑，

∴∠APB=90°；

∵AB=AC=2，∠CAB=120°，

∴∠BAP=60°，

∴BP=，

∴BC=2．

【解析】

試題(1)、根據AB=AC得到∠B=∠C，根據OP=OB得出∠B=∠OPB，從而說明∠C=∠OPB，可以得出OP∥AC，根據PD⊥AC得出∠OPD=90°，即為切線；(2)、連接AP，根據直徑得出∠APB=90°，根據∠BAC的度數求出∠C和∠B的度數，根據Rt△APB求出AP和BP的長度，然后得出BC的長度.

試題解析：(1)、連接OP. ∵AB=AC ∴∠C=∠B ∵OP=OB ∴∠OPB=∠B ∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC ∴∠OPD=∠PDC ∵PD⊥AC于點D ∴∠PDC=90° ∴∠OPD=90°，即：OP⊥PD

∵OP為⊙O半徑 ∴PD是O切線

(2)、連接AP. ∵AB為⊙O直徑 ∴∠APB=90°,即：AP⊥BC

∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=∠B=30°,BP=PC=BC

∵在Rt△APB中，∠B=30° ∴AP=AB=1

∴BP=∴BC=2BP=2