Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．則下列結論：①△ABG≌△AFG②BG＝CG③AG∥CF④S△FGC＝3⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正確的個數是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據對折變換的性質 正方形的性質可證明①，在直角三角形ECG中通過計算可證明②，根據平行線的判定可以證明③，可根據三角形相似求出相似比繼而求得三角形FGC的面積進行比較，可由五邊形的內角和求出

∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正確．

∵EF＝DE= CD＝2，設BG＝FG＝x，則CG＝6﹣x．

在直角△ECG中，根據勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，

解得x＝3．

∴BG＝3＝6﹣3＝GC，故②正確．

∵CG＝BG＝GF，

∴△FGC是等腰三角形，

∴∠GFC＝∠GCF，

又∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，

∴AG∥CF，故③正確，

過F作FH⊥DC，

∵BC⊥DH，

∴FH∥GC，

∴△EFH∽△EGC，

∴ =

EF＝DE＝2，GF＝3，

∴EG＝5，

∴△EFH∽△EGC，

∴相似比為: ==

∴S△FGC＝S△GCE﹣S△FEC＝ ×3×4- ×4×( ×3)= ≠3．故④錯誤，

在五邊形ABGED中，∠BGE+∠GED＝540°﹣90°﹣90°﹣90°＝270°，

即2∠AGB+2∠AED＝270°，

∴∠AGB+∠AED＝135°，故⑤正確