Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點E，連接DE并延長，交BC的延長線于點F．

（1）求證：△BDF是等邊三角形；

（2）連接AF、DC，若BC＝3，寫出求四邊形AFCD面積的思路．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）思路見解析.

【解析】試題分析：(1)連接OE，因AC切⊙O于點E，根據切線的性質可得∠OEA=90° ；再由∠A=30°，∠ACB=90°，根據三角形的內角和定理可得∠AOE=60°，∠B=60°因OD=OE，可得∠ODE=∠OED=60°，所以∠F=∠B=∠ODE，即可判斷△BDF是等邊三角形 ；（2）如圖，作DH⊥AC于點H，求四邊形AFCD的面積思路有以下幾步：①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3,可求AB，AC的長；②由∠AEO=90°，∠OAE=30°,可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的長； ③由（1）可知BF=BD，可求CF的長； ④由AC，DH，CF的長可求四邊形AFCD的面積.

試題解析：

（1）證明：連接OE．

∵AC切⊙O于點E，

∴．

∵， ,

∴, .

∵，

∴．

∴．

∴△BDF是等邊三角形．

（2）如圖，作DH⊥AC于點H.

①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3,可求AB，AC的長；

②由∠AEO=90°，∠OAE=30°,可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的長；

③由（1）可知BF=BD，可求CF的長；

④由AC，DH，CF的長可求四邊形AFCD的面積.