Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA=OB，AC=CD，已知兩點A(4，0)，C(0，7)，點D在第一象限內，∠DCA=90°，點B在線段OC上，AB的延長線與DC的延長線交于點M，AC與BD交于點N.

（1）點B的坐標為：　 　；

（2）求點D的坐標；

（3）求證：CM=CN.

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）D（7,11）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由A(4，0)和OA=OB即可得到結論；

（2）過點D作DE⊥y軸，垂足為E，證明△DEC≌△COA，即可得到結論；

（3）證明△DBE是等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，從而得到∠DBA=90°.在△DNC和△ABN中，根據三角形內角和定理可得出∠CDN=∠BAN，從而證明△DCN≌△ACM，根據全等三角形對應邊相等即可得出結論.

（1）∵A(4，0)，

∴OA=OB=4，

∴B(0，4)；

（2）∵C(0，7)，

∴OC=7.

過點D作DE⊥y軸，垂足為E，

∴∠DEC=∠AOC=90°.

∵∠DCA=90°，

∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△DEC≌△COA(AAS)，

∴DE=OC=7，EC=OA=4，

∴OE=OC+EC=11，

∴D(7，11).

（3）∵BE=OE-OB=11-4=7，

∴BE=DE，

∴△DBE是等腰直角三角形，

∴∠DBE=45°.

∵OA=OB，

∴∠OBA=45°，

∴∠DBA=90°，

∴∠BAN+∠ANB=90°.

∵∠DCA=90°，

∴∠CDN+∠DNC=90°.

∵∠DNC=∠ANB，

∴∠CDN=∠BAN.

∵∠DCA=90°，

∴∠ACM=∠DCN=90°，

∴△DCN≌△ACM(ASA)，

∴CM=CN.