Question

【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內，AB與y軸的正半軸交與點E，已知點B（﹣1，0）．

（1）點A的坐標：　　　　　　，點E的坐標：　　　　　　；

（2）若二次函數y=﹣x2+bx+c過點A、E，求此二次函數的解析式；

（3）P是線段AC上的一個動點（P與點A、C不重合）連結PB、PD，設L是△PBD的周長，當L取最小值時。

求：①點P的坐標

②判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

Answer 1

【答案】（1）E（0， ）；（2）y=﹣x2+x+；（3）①P（， ），②此時點P在拋物線上．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件求得線段OD、AD、OE的長可得點A、E的坐標；

（2）把（1）中所求得的A、E坐標代入中列方程組求得的值可得拋物線的解析式；

（3）由△PBD中，BD邊是定值可知當PB+PD最小時，△PBD的周長最小，因此作點D關于AC的對稱點D’，連接BD’，交AC于點P，此時，△PBD的周長最小.①作D’G⊥軸，連接DD’交AC于點F，利用軸對稱和等邊三角形的性質求得DG、D’G的長可得D’的坐標，用待定系數法求得直線DD’和AC的解析式就可求得點P的坐標；②把所求得的點P的坐標代入（2）中所得拋物線的解析式可判斷點P是否在該拋物線上.

試題解析：

（1）連接AD，如圖1，

∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標為（﹣1，0），BC在x軸上，A在第一象限，

∴點C在x軸的正半軸上，

∴C的坐標為（3，0），由中點坐標公式，得：D的坐標為（1，0）．

∵D為BC的中點，AB=AC=BC=4，

∴AD⊥BC，

∴AD=，

∴A的坐標是（1， ）．

∵在△BOE中，∠BOE=90°，∠EBO=60°，

∴∠BEO=30°，

∴BE=2BO=2，

∴OE=，

∴點E的坐標為（0， ）；

（2）∵拋物線過點A、E，

∴ ，解得： ， ，

∴拋物線的解析式為；

（3）作點D關于AC的對稱點D'，

連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，

即△PBD的周長L取最小值，如圖2．

①∵D、D′關于直線AC對稱，

∴DD′⊥AC，∴∠DFC=90°，∵∠ACD=60°，∴∠D′DC=30°，

∴在Rt△DFC中，DF= =，∴DD'=，

作D’G⊥軸于點G，

在Rt△D’DG中，DG=D’Dcos30°=3，DG=D’Dsin30°=，

∴點D'的坐標為（4， ），

∴由待定系數法可求得：直線BD'的解析式為： ，直線AC的解析式為： ，

由 解得： ，

∴點P的坐標．

②∵在中，當時， ，

∴點P在拋物線上.