Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）與x軸交于AB兩點（A在B左側），與y軸正半軸交于點C．

（1）當m≠﹣4時，說明這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）若OAOB＝6，求點C的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上找一點P，使S△PAC的面積為15，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點C的坐標為（0，6）；（3）P點的坐標為（﹣5，﹣14）或（2，0）．

【解析】

（1）當m≠﹣4時，先得出判別式大于零，再判斷出這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．

（2）根據拋物線y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．

（3）可設P點的坐標為（a，﹣a2﹣a+6），根據S△PAC的面積為15，分P在y軸左邊或右邊兩種情況討論，列出方程可求P點的坐標．

解：（1）∵m≠﹣4，

∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，

∴當m≠﹣4時，二次函數y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，

解得x1＝m+1，x2＝﹣3，

∵二次函數y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）與x軸交于AB兩點（A在B左側），與y軸正半軸交于點C，

∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，

∵OAOB＝6，

∴3（m+1）＝6，

解得m＝1，

∴二次函數y＝﹣x2﹣x+6，

當x＝0時，y＝6，

∴點C的坐標為（0，6）；

（3）設P點的坐標為（a，﹣a2﹣a+6），

如圖一所示，

當P在y軸左邊時，,并且有：

則有：

即：，

解得a＝﹣5，a＝2（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（﹣5，﹣14）；

如圖二所示，

當P在y軸右邊，,并且有：

則有：

即：，

解得a＝﹣5（不合題意，舍去），a＝2，

∴P點的坐標為（2，0）；

故P點的坐標為（﹣5，﹣14）或（2，0）．