Question

【題目】如圖，P是矩形ABCD內的任意一點，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結論：

①S1+S2=S3+S4② S2+S4= S1+ S3

③若S3=2S1，則S4=2S2④若S1= S2，則P點在矩形的對角線上

其中正確的結論的序號是 ▲ （把所有正確結論的序號都填在橫線上）.

Answer 1

【答案】②④。

【解析】

如圖，過點P分別作四個三角形的高，

∵△APD以AD為底邊，△PBC以BC為底邊，

∴此時兩三角形的高的和為AB，

∴S1+S3=S矩形ABCD；

同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。

∴②S2+S4= S1+ S3正確，

則①S1+S2=S3+S4錯誤

若S3=2S1，只能得出△APD與△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故結論③錯誤

如圖，若S1=S2，則×PF×AD=×PE×AB，

∴△APD與△PBA高度之比為：PF：PE =AB：AD 。

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四邊形AEPF是矩形，

∴矩形AEPF∽矩形ABCD

連接AC

∴PF：CD =PE：BC=AP：AC，

即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。

∴△APF∽△ACD�！唷�PAF=∠CAD

∴點A、P、C共線

∴P點在矩形的對角線上

故結論④正確。

綜上所述，結論②和④正確。