Question

【題目】我們已經知道一些特殊的勾股數，如三連續正整數中的勾股數：3、4、5；三個連續的偶數中的勾股數6、8、10；事實上，勾股數的正整數倍仍然是勾股數．

(1)另外利用一些構成勾股數的公式也可以寫出許多勾股數，畢達哥拉斯學派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n為正整數)是一組勾股數，請證明滿足以上公式的a、b、c的數是一組勾股數．

(2)然而，世界上第一次給出的勾股數公式，收集在我國古代的著名數學著作《九章算術》中，書中提到：當a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n為正整數，m＞n時，a、b、c構成一組勾股數；利用上述結論，解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數，其中一邊長為37，且n＝5，求該直角三角形另兩邊的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)當n＝5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12，35．

【解析】

（1）根據題意只需要證明a2+b2＝c2，即可解答

（2）根據題意將n＝5代入得到a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，再將直角三角形的一邊長為37，分別分三種情況代入a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，即可解答

(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2＝c2，

∵n為正整數，

∴a、b、c是一組勾股數；

(2)解：∵n＝5

∴a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，

∵直角三角形的一邊長為37，

∴分三種情況討論，

①當a＝37時， (m2﹣52)＝37，

解得m＝±3 (不合題意，舍去)

②當y＝37時，5m＝37，

解得m＝ (不合題意舍去)；

③當z＝37時，37＝ (m2+n2)，

解得m＝±7，

∵m＞n＞0，m、n是互質的奇數，

∴m＝7，

把m＝7代入①②得，x＝12，y＝35．

綜上所述：當n＝5時，一邊長為37的直角三角形另兩邊的長分別為12，35．