Question

【題目】如圖，有一個圓和兩個正六邊形，．的6個頂點都在圓周上，的6條邊都和圓相切（我們稱，分別為圓的外切正六邊形和內接正六邊形），若設，的周長分別為，，圓的半徑為，則___；____；正六邊形，的面積比的值是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意畫出圖形，連接OE、OG，OF,由正六邊形T1，得到∠EOF為60°， 從而得到△EOF為等邊三角形，即a=r， 故得到r：a=1：1；在Rt△EOG中，由OG為角平分線，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函數可求出OE及OG的長，即為r：b的比值，然后求出a：b的比值，根據正六邊形T1，T2相似，其面積之比等于邊長之比的平方，即可求出面積之比.

連接OE、OG、OF，

∵，的周長分別為，，

∴，的邊長分別為，，
∵EF=，且正六邊形T2，
∴△OEF為等邊三角形，OE為圓的半徑r，
∴r：= 1：1 ，

∴r：b=；
由題意可知OG為∠FOE的平分線，即∠EOG= ∠EOF=30°，
在Rt△OEG中，OE=r，OG= ，
∵，即，

∴r：a=；
∵r：b=，r：a=，

∴b:a=
∵兩個正六邊形T1、T2相似，
∴，即，

故答案為：，，.