Question

【題目】某市地鐵1號線全長約60km，市政府通過招標，甲、乙兩家地鐵工程公司承擔了施工任務，根據招標合同可知，甲公司每月計劃施工效率是乙公司的1.2倍，則乙公司單獨施工比甲公司單獨施工多用10個月，且市政府需要支付給甲公司的施工費用為6億元/km，乙公司的施工費用為5億元/km．

（1）甲、乙兩家地鐵工程公司每月計劃施工各為多少km？

（2）由于設備和施工現場只能供一家地鐵工程公司單獨施工的原因，現計劃甲、乙兩家公司共用55個月恰好完成施工任務（每家公司施工時間不足一個月按照一個整月計算），且甲公司施工時間不得少于乙公司的兩倍，應如何安排才能使市政府支付給兩家地鐵工程公司的總費用最少？

Answer 1

【答案】（1）甲公司每月計劃施工1.2km，乙公司每月施工1km；（2）甲公司施工37個月，乙公司施工18個月，總費用最少．

【解析】

（1）設乙公司每月計劃施工x km，則甲公司每月施工1.2x km，根據乙公司單獨施工比甲公司單獨施工多用10個月，列方程求解；

（2）設甲公司施工了m個月，則乙公司施工（55-m）個月，共支付的總費用為w億元，根據題意列出w與m的函數關系式并根據甲公司施工時間不得少于乙公司的兩倍確定m的取值范圍，然后利用一次函數的性質求最值．

解：設乙公司每月計劃施工x km，則甲公司每月施工1.2x km，

根據題意，得

解得，x=1

經檢驗，x=1是原方程的根，

∴1.2x=1.2×1=1.2

因此，甲公司每月計劃施工1.2km，乙公司每月施工1km．

（2）設甲公司施工了m個月，則乙公司施工（55-m）個月，共支付的總費用為w億元，則

w=1.2×6·m+1×5·（55-m）=7.2m+275-5m=2.2m+275

∵k=2.2＞0，w隨著m的增大而增大，

∵甲公司施工時間不得少于乙公司的兩倍，

∴，

∴，

∴當m=37時，w有最大值，

55-37=18，

因此，甲公司施工37個月，乙公司施工18個月，總費用最少．