Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數式分別表示：QB=　 　，PD=　 　．

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；

（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）8-2t， ．（2）不存在；當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形．（3）線段PQ中點M所經過的路徑長為2單位長度．

【解析】試題分析：（1）根據題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；

（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）設E是AC的中點，連接ME．當t=4時，點Q與點B重合，運動停止．設此時PQ的中點為F，連接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

試題解析：（1）根據題意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8-2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA=，

∴PD= ．

（2）不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴，即，

∴AD= ，

∴BD=AB-AD=10- ，

∵BQ∥DP，

∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8-2t= ，解得：t=．

當t=時，PD=，BD=10-，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

設點Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ=8-vt，PD= ，BD=10- ，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當PD=BD時，即=10- ，解得：t=

當PD=BQ，t=時，即，解得：v=

當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系．

依題意，可知0≤t≤4，當t=0時，點M1的坐標為（3，0），當t=4時點M2的坐標為（1，4）．

設直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直線M1M2的解析式為y=-2x+6．

∵點Q（0，2t），P（6-t，0）

∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標（，t）．

把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，

∴點M3在直線M1M2上．

過點M2作M2N⊥x軸于點N，則M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴線段PQ中點M所經過的路徑長為2單位長度．