Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），點P是直線BC上方拋物線上的一動點，PE∥y軸，交直線BC于點E連接AP，交直線BC于點 D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）當AD＝2PD時，求點P的坐標；

（3）求線段PE的最大值；

（4）當線段PE最大時，若點F在直線BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接寫出點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，4）或P（2，3）；（3）（﹣）或（）

【解析】

（1）由于拋物線與x軸的兩個交點坐標已知，可把拋物線的解析式設成交點式，再代入另一已知點坐標便可求出解析式；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點F，用待定系數法求出BC的解析式，設P點的橫坐標為t，進而求得AF與PE，由相似三角形的比例線段求得t便可；

（3）根據PE關于t的函數解析式，由函數的性質求出其最大值便可；

（4）分兩種情況：①當F點在PE的左邊時，過點P作PM⊥BC于點M，過E作EN⊥x軸于點N，過點F作FQ⊥x軸于點Q，過點O作OG⊥AC于點G，取AC的中點H，連接OH，通過三角形相似求出MF的值便可；②將求得的F點坐標，關于PM對稱點便是另一F點．

（1）設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

則3＝a×1×（﹣3），

∴a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）過A作EF⊥x軸，與BC相交于點F，如圖1，設P（t，﹣t2+2t+3），

則AF∥PE，

設BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

則，

解得，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，

∴E（t，﹣t+3），F（﹣1，4），

∴AF＝4，PE＝﹣t2+3t，

∵AF∥PE，

∴△AFD∽△PED，

∴，

∵AD＝2PD，

∴，

解得，t＝1或2，

∴P（1，4）或P（2，3）；

（3）∵PE的解析式為：PE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜3），

∴當t＝時，PE的值最大為；

（4）①當F點在PE的左邊時，

過點P作PM⊥BC于點M，過E作EN⊥x軸于點N，過點F作FQ⊥x軸于點Q，過點O作OG⊥AC于點G，取AC的中點H，連接OH，

由（3）知，當PE取最大值時，P（，），PE＝，E（，），

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴BE＝EM＝，∠PEM＝45°，

∴PM＝EM＝，

∵AC＝，

∴OH＝CH＝，

OG＝，

∴HG＝，∠OHG＝2∠ACO，

∵∠EFP＝2∠ACO，

∴∠EFP＝∠OHG，

∵∠OGH＝∠PMF，

∴△OGH∽△PMF，

∴，即，

∴MF＝，

∴BF＝BE+EM+MF＝，

∴FQ＝BQ＝BF＝，

∴OQ＝，

∴F（﹣，），

②當F點在PE的右邊時，此時的F點恰好與（﹣，）關于PM對稱，易求此時F（，）．

故F的坐標為（﹣，）或（，）．