Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB=90°，點D是上的一點，且，連接AD交BC于點F，過點A作⊙O的切線AE交BC的延長線于點E．

（1）求證：CF=CE；

（2）若AD=8，AC=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據切線的性質和圓周角定理得到∠CAE=∠B，∠DAC=∠B，即可得到∠CAE=∠CAF，然后通過證得△CAE≌△CAF即可證得結論；

（2）連接OC，則根據垂徑定理得到OC⊥AD，AH=DH，根據勾股定理求得CH=3，設⊙O的半徑為r，在Rt△AOH中，OA2=AH2+OH2，得到r2=42+（r﹣3）2，解得即可．

（1）證明：∵∠ACB=90°，

∴AB是⊙O的直徑，AC⊥EF，

∵AE是⊙O的切線，

∴∠CAE=∠B，

∵，

∴∠DAC=∠B，

∴∠CAE=∠CAF，

在△CAE和△CAF中

∴△CAE≌△CAF（SAS），

∴CF=CE；

（2）解：連接OC，交AD于H，

∵，

∴OC⊥AD，AH=DH，

∵AD=8，AC=5，

∴AH=4，

在Rt△ACH中，CH==3，

設⊙O的半徑為r，

∴OH=r﹣3，

在Rt△AOH中，OA2=AH2+OH2，

∴r2=42+（r﹣3）2，

解得r=